Question

2．已知曲线f（x）=ax³+bx²在x=1处的切线为y=3x-1，求：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求过原点的f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得在x=1处切线的斜率，由已知切线的方程可得a，b的方程组，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）设出切点（m，-m³+3m²），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入原点，解方程可得m，进而得到切线的方程．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx²的导数为f′（x）=3ax²+2bx，
由在x=1处的切线为y=3x-1，
可得f（1）=a+b=2，f′（1）=3a+2b=3，
解方程可得a=-1，b=3，
则f（x）=-x³+3x²；
（2）设切点为（m，-m³+3m²），
f（x）=-x³+3x²的导数为f′（x）=-3x²+6x，
可得过原点的f（x）的切线斜率为-3m²+6m，
切线的方程为y-（-m³+3m²）=（-3m²+6m）（x-m），
由于切线经过（0，0），可得
0-（-m³+3m²）=（-3m²+6m）（0-m），
化为3m²=2m³，解得m=0或$\frac{3}{2}$，
即有切线的方程为y-0=0（x-0）或y-0=$\frac{9}{4}$（x-0），
即为y=0或y=$\frac{9}{4}$x．
即y=0或9x-4y=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意区分在某点处和过某点的切线，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于中档题和易错题．