Question

在△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中ABB₁A₁与BCC₁B₁所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是

S

2 AA1C1C

=

S

2 ABB1A1

+

S

2 BCC1B1

-2SABB1A1•SBCC1B1cosθ．

．

Answer 1

分析：由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论

解答：解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角
故答案为：

S

2 AA1C1C

=

S

2 ABB1A1

+

S

2 BCC1B1

-2SABB1A1•SBCC1B1•COSθ
证明如下：如图斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 
         设侧棱长为a
         做面EFG垂直于侧棱AA₁、BB₁、CC₁，则∠EFG=θ  
          又∵SABB1A1=a •EF
              SBCC1B1=a •FG
              SACC1A1=a•GE
         在△EFG中，根据余弦定理得：EG²=EF²+FG²-2EF•FG•COSθ
         等式两边同时乘以a²，可得答案
故答案为：

S

2 AA1C1C

=

S

2 ABB1A1

+

S

2 BCC1B1

-2SABB1A1•SBCC1B1•COSθ

点评：本题考察类比推理，要找准平面中的几何量与空间几何量的对应关系