Question

（2009•闸北区一模）记数列{a_n}的前n项和为S_n，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．
（1）若{a_n}是等差数列，项数n为偶数，首项a₁=1，公差d=

3

2

，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若无穷数列{a_n}满足条件：①Sn+1=1-

3

5

Sn（n∈N^*），②S′=S″．求{a_n}的通项；
（3）若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，公差d∈N^*，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列．

Answer 1

分析：（1）因为{a_n}是等差数列且项数n为偶数，所以S偶-S奇 =

n

2

d，根据公式可以求出n，从而求出S_n；（2）先把递推公式Sn+1=1-

3

5

Sn，往后递推一项得Sn=1-

3

5

Sn-1，然后两式相减可以推出数列{a_n}是从第二项开始的无穷等比数列，公比q=-

3

5

，且0＜|q|＜1，然后根据无穷等比数列所有项和公式S=

a1

1-q

，求出{a_n}的通项；（3）先判断出数列的项数为奇数，然后写出奇数项的和与偶数项的和进行作差或者作商，求出公差的取值范围d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2 从而确定所求数列．

解答：解：由题意知
（1）若数列{a_n}项数n为偶数，由已知，得S″-S′=15=

3

2

•

n

2

  解得n=20，
 Sn=1×20+

20×19

2

×

3

2

=305；
（2）∵Sn+1=1-

3

5

Sn（n∈N^*）①
∴Sn=1-

3

5

Sn-1（n∈N^*，n≥2）②
 即①减去②得：

an+1

an

=-

3

5

．            
 所以数列{a_n}是从第二项开始的无穷等比数列，公比q=-

3

5

，且0＜|q|＜1
∴S′=a1+

a2q

1-q2

，
  S″=

a2

1-q2

，
 又∵S′=S″，
∴a1=

a2

1+q

=

5

2

a2，
 又∵Sn+1=1-

3

5

Sn（n∈N^*），
 当n=1时，S2=1-

3

5

S1
∴8a₁+5a₂=5
∴a1=

1

2

所以，对应的数列的通项为an=

1 2 (n=1) 1 5 (- 3 5 )n-2(n≥2)

（3）假设数列{a_n}项数n为偶数，S″-S′=

n

2

•d＞0与S″-S′=-9矛盾．
 故数列{a_n}项数n不为偶数．
解法1：设数列{a_n}项数n=2k+1（k∈N），
 则S′=a1+a3+…+a2k+1=

a1+a2k+1

2

•(k+1)
 S″=a2+a4+a6+…+a2k=

a2+a2k

2

•k
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
 解得k=3，项数n=2×3+1=7，
∵S7=S′+S″=63=7a1+

7×6

2

•d，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
 当d=1时，a₁=6，此时，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
 所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．
 当d=2时，a₁=3，此时，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
 所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．
解法2：

(k+1)a1+ (k+1)(k+1-1) 2 •2d=36 k(a1+d)+ k(k-1) 2 •2d=27

(k+1)a1+(k+1)kd=36 ka1+k2•d=27

，
     解得k=3，项数n=2×3+1=7，
∵S7=S′+S″=63=7a1+

7×6

2

•d，
∴a₁+3d=9，∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
 当d=1时，a₁=6，此时，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
 所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．
 当d=2时，a₁=3，此时，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
 所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．

点评：本题主要考查等差数列的奇数项的和S^′与偶数项的和S^∥的公式，以及无穷等比数列的所有项和的S=

a1

1-q

，对学生的能力要求比较高，有一定的难度．