Question

14．设函数f（x）=min{2$\sqrt{x}$，|x-2|}，其中min|a，b|=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$．若函数y=f（x）-m有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A． （2，6-2$\sqrt{3}$）
• B． （2，$\sqrt{3}$+1）
• C． （4，8-2$\sqrt{3}$）
• D． （0，4-2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 先比较2$\sqrt{x}$与|x-2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x₁，x₂，x₃，的值从而求出x₁+x₂+x₃的取值范围．

解答 解：令y=f（x）-m=0，得：f（x）=m，
由2$\sqrt{x}$≥|x-2|可得x²-8x+4≤0，解可得4-2$\sqrt{3}$≤x≤4+2$\sqrt{3}$，
当4-2$\sqrt{3}$≤x≤4+2$\sqrt{3}$时，2$\sqrt{3}$≥|x-2|，此时f（x）=|x-2|
当x＞4+2$\sqrt{3}$或0≤x＜4-2时，2$\sqrt{3}$＜|x-2|，此时f（x）=2$\sqrt{x}$，
其图象如图所示，
，
∵f（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2$\sqrt{3}$-2，
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，
由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，
∴x₁+x₂+x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$+2-m+m+2=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，
当m=0时，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=4，m=2$\sqrt{3}$-2时，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=8-2$\sqrt{3}$，
∴4＜x₁+x₂+x₃＜8-2$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．