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已知椭圆的方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其中a2=4c,直线l:3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P,F是椭圆的右焦点,试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
(Ⅰ)设椭圆的左右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),
直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是M(c,
3c
2
)

根据椭圆的定义得:|MF1|+|MF2|=2a,
[c-(-c)]2+(
3c
2
)
2
+
(c-c)2+(
3c
2
)
2
=2a
,即4c=2a①,
a2
c
=4
②,a2=b2+c2③,联立①②③三式解得a=2,b=
3
,c=1

所以椭圆的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,直线与椭圆的一个交点为P(1,
3
2
),F(1,0),
则以PF为直径的圆的方程是(x-1)2+(y-
3
4
)2=
9
16
,圆心为(1,
3
4
),半径为
3
4
,;
以椭圆长轴为直径的圆的方程是x2+y2=4,圆心是(0,0),半径是2,
两圆心距为
12+(
3
4
)2
=
5
4
=2-
3
4
,所以两圆内切.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M,N两点,△FMN面积的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P,A,B是椭圆E上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任一点,使
OP
=m
OA
+n
OB

①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
②求OA2+OB2的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

直线y=kx与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),且该双曲线与直线y=
1
2
x-
3
2
相交所得弦长为
4
15
3
,则该双曲线方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线x2-
y2
4
=1
的右顶点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线l经过焦点F,且倾斜角为60°,与抛物线交于A、B两点,求:弦长|AB|.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知三角形△ABC的两顶点为B(-2,0),C(2,0),它的周长为10,求顶点A轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过点C(4,0)的直线与双曲线
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B两点,则直线AB的斜率k的取值范围是(  )
A.|k|≥1B.|k|>
3
C.|k|≤
3
D.|k|<1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F1的坐标为(-1,0),已知椭圆E上的一点到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为
π
4
的直线交椭圆于C、D,求△CDF1的面积;
(Ⅲ)设点P(4,t)(t≠0),A、B分别是椭圆的左、右顶点,若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N,求证∠MBP为锐角.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5
2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
,求斜率k的值;
②已知点M(-
7
3
,0)
,求证:
MA
MB
为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,顶点为O,准线为l,过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA1⊥l于点A1,以线段AF,AA1为邻边作平行四边形AFCA1,连接直线AC交l于点D,延长AF交抛物线于另一点B.若△AOB的面积为S△AOB,△ABD的面积为S△ABD,则
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值为______.

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