Question

设a∈R，f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数．
（2）当f（x）为奇函数时，对于给定的正实数k，解不等式 f^-1（x）＞log₂

1+x

k

．
（3）设g（n）=

n

n+1

（n∈N）．当f（x）是奇函数时，试比较f（n）与g（n）的大小．

Answer 1

分析：（1）先把解析式变为f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

=a+

-2

2x+1

，用f（x）+f（-x）=0这一方程求出a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，求出其反函数，代入不等式 f^-1（x）＞log₂

1+x

k

，其解集需要用参数k来表示；
（3）作差，整理后，探究差的符号，比较出f（n）与g（n）的大小．

解答：解：（1）f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

=a+

-2

2x+1

，
由f（x）+f（-x）=0得a+

-2

2x+1

+a+

-2

2-x+1

=0，
整理得2a=

2(2x+1)

2-x+1

=2，
得a=1，即当a=1时f（x）为奇函数．
（2）由（1）得f（x）=1+

-2

2x+1

，
令y=1+

-2

2x+1

得2^x+1=

2

1-y

，
即2^x=-

1+y

1-y

，故x=log2

1+y

1-y

，
即 f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，
代入不等式得log2

1+x

1-x

＞log₂

1+x

k

，故有k＞1-x整理得
又由于k＞0，故有x＞1-k，又函数的定义域是[-1，1]，故不等式的解集为[-1，1-k），
（3）f（n）-g（n）=1+

-2

2n+1

-

n

n+1

=1-

2n+2+n×2n+n

(2n+1)(n+1)

=

(2n+1)(n+1)-(3n+2+n×2n)

(2n+1)(n+1)

=

(n×2n+2n+n+1)-(3n+2+n×2n)

(2n+1)(n+1)

=

2n-2n-1

(2n+1)(n+1)

从差的形式看出，分母一定为正，差的符号由分子的符号确定，由于n∈N，下对n的取值进行讨论，以确定差的正负
当n=0时，2ⁿ-2n-1=0故f（n）=g（n）
当n=1时，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
当n=2时，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
当n=3时，2ⁿ-2n-1=1故f（n）＞g（n）
当n=4时，2ⁿ-2n-1=7故f（n）＞g（n）
观察知当n≥3时，总有2ⁿ-2n-1＞0，故当n≥3时，f（n）＞g（n）
综上，当n=0时，f（n）=g（n）；当n=1或2时，f（n）＜g（n）；当n≥3时，f（n）＞g（n）．

点评：本题考点是反函数，综合考查了利用奇偶性求参数，求反函数解不等式，以及作差法比较大小，对于一些不好利用单调性比较大小的非常规题，常用作差的方法通过研究差的符号来比较两个数（或式）的大小．