Question

给出下列四个命题：
（1）若函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
（3）函数f（x）=sin2xcos2x的最小正周期是

π

2

；
（4）要得到函数y=cos(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

向左平移

π

4

个单位．其中正确命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）由已知可得函数在[0，1]上单调递减，结合θ∈(

π

4

，

π

2

)，可知0＜cosθ＜sinθ＜1，从而可判断（1）
（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（

1

2

π-α）＞sinβ，则有

1

2

π-α＞β，则可判断（2）
（3）由周期公式可得，函数f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x的最小正周期
（4）根据函数的图象的平移法则可得，把函数y=sin

x

2

向左平移

π

4

个单位可得y=sin[

1

2

（x+

π

4

）]，故可判断（4）

解答：解：（1）由函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，可得函数在[0，1]上单调递减，由θ∈(

π

4

，

π

2

)，可得0＜cosθ＜sinθ＜1，则f（sinθ）＜f（cosθ），故（1）错误
（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（

1

2

π-α）＞sinβ，则有

1

2

π-α＞β即α+β＜

π

2

，故（2）正确
（3）由周期公式可得，函数f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x的最小正周期是

π

2

，故（3）正确
（4）根据函数的图象的平移法则可得，把函数y=sin

x

2

向左平移

π

4

个单位可得y=sin[

1

2

（x+

π

4

）]即y=sin(

1

2

x+

π

8

)的图象，故（4）错误
故选：B

点评：本题主要考查了偶函数的对称区间上的单调性相反的应用，三角函数的单调性、周期的求解、函数的图象的平移法则的应用，属于三角函数知识的综合应用