Question

已知函数，若f（x）存在唯一的零点，且，则a的取值范围是（ ）

A.（2，+∞） B.（一∞，-2） C.（1，+∞） D.（一∞，一1）

 

Answer 1

B

【解析】

试题分析：当a=0时，，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令，解得x=0或，列表如下：

x	（-∞，0）	0
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

 

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，，解得x=0或，列表如下：

x				0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

 

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，∴存在＞0，使得f（）=0，∵f（x）存在唯一的零点，且，∴极小值，化为，∵a＜0，∴a＜-2．综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．故选：C．

考点：函数零点的判定定理．