Question

已知F₁(-1，0)、F₂(1，0)，圆F₂：（x-1）²+y²=1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F₁，F₂为焦点的椭圆．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且，求曲线E的标准方程；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x ＞0）               
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，所以，
∴，化简整理得y²=4x，
曲线C的方程为y²=4x（x ＞0）；
（Ⅱ）依题意，c=1，, 可得， 
∴,
又由椭圆定义得.   
∴b²=a²-c²=3，
所以曲线E的标准方程为；
（Ⅲ）设直线l与椭圆E交点，A,B的中点M的坐标为，
将A,B的坐标代入椭圆方程中，得
两式相减得
∴，                                       
∵y₀²=4x₀，∴直线AB的斜率， 
由（Ⅱ）知，∴
∴
由题设，
∴， 
即.