Question

（2011•奉贤区二模）已知F1(-

2

，0)和F2(

2

，0)，点T（x，y）满足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O为直角坐标原点，
（1）求点T的轨迹方程Γ；
（2）过点（0，1）且以(2，

2

)为方向向量的一条直线与轨迹方程Γ相交于点P，Q两点，OP，OQ所在的直线的斜率分别是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知点T的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中 a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，由此能够推导出点T的轨迹方程．
（2）先求出直线L的方程，与椭圆方程联立求出x₁x₂以及y1y2=-

1

2

代入k_OP•k_OQ即可得到结论．

解答：解：（1）∵|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|F₁F₂|=2

2

，
∴点T的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，
其中 a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，
故点T的轨迹方程为

x2

4

+

y2

2

=1（6分）
（2）直线L的斜率k=

2

2

（7分）
设直线L的方程：y=

2

2

x+1（8分）
联立

x2 4 + y2 2 =1 y= 2 2 x+1

消去y得：x2+

2

x-1=0所以x₁x₂=-1，（10分）
同法消去x得：2y²-2y-1=0，所以y1y2=-

1

2

（12分）
∴K_OP•K_OQ=

y1•y2

x1•x2

=

1

2

．（16分）

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．