Question

（2011•奉贤区二模）用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y
（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为

π

3

，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m³）

Answer 1

分析：（1）由题意可知，制作该容器需要铁皮面积，就是圆锥的全面积，得到方程πx²+πxy=2π，分离出y即可，利用x＜y求出定义域．
（2）利用母线与底面所成的角大小为

π

3

求出母线长，进一步求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积．

解答：解：（1）∵πx²+πxy=2π
∴y=

2-x2

x

（4分）
∵x＜y∴x＜

2-x2

x

，
∴0＜x＜1（6分）
（2）依题意，作圆锥的高SO，∠SAO是母线与底面所成的线面角，（7分）
设圆锥高h，∵cos

π

3

=

x

y

=

1

2

，y=2x
∴h=

3

x
∴x=

2 3

，h=

2

（9分）
V=

1

3

πx2h=

3

3

πx3≈0.99m³（11分）
答：所制作的圆锥形容器容积0.99立方米                             （12分）

点评：本题考查旋转体的侧面积、全面积、体积，是一道中档题．