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    已知矩阵A=
    1-1
    a1
    ，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3），
    （1）求实数a的值；
    （2）求矩阵A的特征值及特征向量．
    分析：（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，-3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．
    （2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．
    解答：解：（1）由
    1-1
    a1
     
    1
    1
    =
    0
    -3
    ，
    得a+1=-3
    ∴a=-4
    （2）由（1）知A=
    1-1
    -41
    ，
    则矩阵A的特征多项式为f(x)=
    .
    λ-11
    4λ-1
    .
    =(λ-1)2-4=λ2-2λ-3
    令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为-1或3
    当λ=-1时二元一次方程
    (λ-1)x+y=0
    4x+(λ-1)y=0
    ?y=2x
    ∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为
    1
    2

    当λ=3时，二元一次方程
    (λ-1)x+y=0
    4x+(λ-1)y=0
    ?2x+y=0
    ∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为
    1
    -2
    ．
    点评：本题考查二阶矩阵，考查二阶矩阵的特征值的求法，考查二阶矩阵的特征向量的求法，因为是高等数学的内容，考查的比较简单，是一个中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知矩阵A=
    1a
    -1b
    ，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
    2
    1
    ．
    （1）求矩阵A；
    （2）若向量β=
    7
    4
    ，计算A5β的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
    （1）．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    1a
    -1b
    ，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
    2
    1
    ．
    （Ⅰ）求矩阵A；
    （Ⅱ）若向量β=
    7
    4
    ，计算A2β的值．

    （2）．选修4-4：坐标系与参数方程
    已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
    12
    3cos2θ+4sin2θ
    ，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
    x=2+
    		2
    2
    t
    y=
    		2
    2
    t
    （t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
    （3）．选修4-5：不等式选讲
    已知x，y，z均为正数．求证：
    x
    yz
    +
    y
    zx
    +
    z
    xy
    ≥
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．[选修4-1：几何证明选讲]
    已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
    求证：AD的延长线平分∠CDE
    B．[选修4-2：矩阵与变换]
    已知矩阵A=
    12
    -14

    （1）求A的逆矩阵A-1；
    （2）求A的特征值和特征向量．
    C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
    已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=
    1
    2
    t
    y=
    		3
    2
    t+1
    （t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
    D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
    设a，b，c均为正实数，求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    矩阵与变换．已知矩阵A=
    1a
    -1b
    ，A的一个特征值λ=2，属于λ的特征向量是
    α1
    =
    2
    1
    ，求矩阵A与其逆矩阵．
    坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：
    x=-1+cosθ
    y=sinθ
    (θ为参数)    上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选修4-4：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    .
    1a
    -1b
    .
    ，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
    .
    2
    1
    .
    ．
    （Ⅰ）求矩阵A；
    （Ⅱ）求直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

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