Question

（2010•台州一模）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且法向量为

n

=(1，-2)的直线（点法式）方程为1×（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0． 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A（3，4，5），且法向量为

n

=(2，1，3)的平面（点法式）方程为

2x+y+3z-21=0

（请写出化简后的结果）．

Answer 1

分析：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则

AP

=(x-3，y-4，z-5)，利用平面法向量为

n

=(2，1，3)，即可求得结论．

解答：解：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则

AP

=(x-3，y-4，z-5)
∵平面法向量为

n

=(2，1，3)
∴2（x-1）+1×（y-4）+3（z-5）=0
∴2x+y+3z-21=0
故答案为：2x+y+3z-21=0

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解．