Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，-2cosx），-．
（Ⅰ）若∥，求x；
（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．

Answer 1

解：（I）若 ，则 sinx（sinx-2cosx）=cos²x，…（1分）
即-sin2x=cos2x，∴tan2x=-1．-----（2分）
又∵-＜x＜，∴-＜2 x＜π，
∴2x=-，或 2x=，即 x=- 或 x=．--------（4分）
（II）∴f（x）==2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x=sin（2x-）-1，…（7分）
令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．
又 ，
∴f（x）的单调减区间时（-，-）、（ ，）．…（11分）
（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N） 个单位，或向右平移 （ k∈N） 个单位，
即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）
分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=-1，再由-＜x＜ 求得x的值．
（II）利用两个向量的数量积公式 化简 f（x）的解析式为 sin（2x-）-1，令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N） 个单位，或向右平移 （ k∈N） 个单位即可．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．