Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求数列的前n项和为S_n．

Answer 1

（1）解：当n=1时，有，由于a_n＞0，所以a₁=1．
当n=2时，有，将a₁=1．代入上式，由于a_n＞0，，所以a₂=2．
（2）解：由于，①
则有=． ②
②-①，得
由于a_n＞0，所以 ③
同样有n≥2，④
③-④，得． 所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1．
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n，=．
所以（1-）
=
=．
分析：（1）令n=1，2可以求a₁=1，a₂=2．
（2）由已知可得=，两式相减，结合a_n＞0可求得，则可得，n≥2，两式相减整理可得a_n+1-a_n=1，从而可得数列{a_n}是等差数列，可求
（3）由（2）知=，利用裂项可求和
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，及构造等差数列求解通项公式，还考查了裂项求解数列的和，要注意=中的系数不要漏掉