Question

已知双曲线的右焦点为F（c，0），点P到F（c，0）的距离比到直线x+5=0的距离少1，则点P的轨迹方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线方程，求出它的半焦距，得出点F的坐标为F（4，0），将直线x+5=0右移一个单位，可得点P到F（4，0）的距离等于P到直线x+4=0的距离，符合抛物线的定义．因此设所求轨迹为y²=2px（p＞0），再根据抛物线的焦点坐标求出p值，从而得出抛物线的方程，即为所求的轨迹方程．
解答：解：由双曲线得：
所以焦点为F（4，0），
点P到F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离少1，
即点P到F（4，0）的距离等于P到直线x+4=0的距离
根据抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点，
直线x+4=0为准线的抛物线，设方程为y²=2px（p＞0）
∵
∴2p=16
所求抛物线的方程为y²=16x
故答案为：y²=16x
点评：本题是圆锥曲线的综合题，属于中档题．熟练掌握双曲线的基本量和抛物线的定义，是解决好本题的关键，考查了转化化归的数学思想．