Question

在锐角△ABC中，角A、B、C成等差数列，

(1+cos2A)(1+cos2C)

=

3 -1

2

（Ⅰ）证明：cosAcosC=

1

2

[cos(A+C)+cos(A-C)]；
（Ⅱ）试比较a+

2

b与

3

c的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的余弦公式，化简cos（A+C）+cos（A-C）为2cosAcosC，两边同时除以2，即得要证的式子．
（Ⅱ）易求B=60°，A+C=120°，化简

2cos2A•2cos2C

为-

1

2

+cos(A-C)=

3 - 1

2

，求出
 cos(A-C)=

3

2

，故有A-C=±30°，利用正弦定理计算

a+ 2 b

3 c

，再利用不等式的放缩可得其值大于1，
命题得证．

解答：（Ⅰ）证明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，
两边同时除以2可得cosAcosC=

1

2

[cos(A+C)+cos(A-C)]．
（Ⅱ）解：在锐角△ABC中，因为A、B、C成等差数列，所以B=60°，A+C=120°．
又

2cos2A•2cos2C

=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=-

1

2

+cos(A-C)，

(1+cos2A)(1+cos2C)

=

2cos2A•2cos2C

=

3 - 1

2

，
∴-

1

2

+cos(A-C)=

3 - 1

2

，∴cos(A-C)=

3

2

．
∵-90⁰＜A-C＜90⁰，A+C=120°，故有 A-C=±30°，sin750=

6 + 2

4

，
当A＜C时，A=45°，C=75°，此时

a+ 2 b

3 c

=

sin450+ 2 sin600

3 sin750

＞

6 + 2 2

2• 6 + 2 4

=1，所以a+

2

b＞

3

c．
当A＞C时，A=75°，C=45°，

a+ 2 b

3 c

=

sin750+ 2 sin600

3 sin450

＞1，所以a+

2

b＞

3

c，
综合得 a+

2

b＞

3

c．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，等差数列的定义和性质，用综合法证明不等式，属于中档题．