Question

如图，在三棱柱ADF-BCE中，矩形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M为AF的中点，BN⊥CE．
（1）证明：CF∥平面MBD；
（2）证明：CF⊥平面BDN
（3）求平面BDM把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，连接OM，证明FC∥MO，然后证明CF∥平面MBD；      
（2）因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，推出AF⊥平面ABCD．证明FC⊥BD，证明EF⊥BN，BN⊥FC，然后证明CF⊥平面BDN即可．
（3）平面BDM把三棱锥分成了棱锥A-BDM和多面体BDM-CFE两部分，利用棱锥体积公式和棱柱体积公式，结合割补法，求出两部分体积，可得答案．

解答：证明：（1）连接AC交BD于O，连接OM
因为M为AF中点，O为AC中点，
所以FC∥MO，
又因为MO?平面MBD，
所以CF∥平面MBD；                                 
（2）因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以AF⊥平面ABCD．
所以AF⊥BD，又因为
所以BD⊥平面ACF，所以FC⊥BD
因为，正方形ABCD和矩形ABEF，所以AB⊥BC，AB⊥BE，
所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥BN，又因为EF∥AB，所以EF⊥BN
又因为EC⊥BN，所以BN⊥平面CEF，所以BN⊥FC，
所以CF⊥平面BDN．                                
解：（3）∵AF=2AB=2AD=2，
∴三棱柱ADF-BCE的体积V=

1

2

×2×1×1=1
设棱锥A-BDM的体积为V₁，多面体BDM-CFE的体积为V₂，
则V₁=V_M-ADB=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

则V₂=V-V₁=

5

6

∴平面BDM把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比为1：5

点评：本题考查直线与平面垂直，直线与平面平行的证明，考查空间想象能力，计算能力．