Question

如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是线段DF的中点，M是线段AB上一点．
（I）若M是线段AB的中点，求证：GA∥平面FMC
（II）若多面体BCDMFE的体积是多面体F-ADM的体积的3倍，AM=λMB，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）方法一（面面平行性质法）：取DC中点S，连接AS，GS，GA，由三角形中位定理可得GS∥FC，AS∥CM，进而由面面平行的第二判定定理可得面GSA∥面FMC，最后由面面平行的性质，得到答案．
方法二：（线面平行的判定定理法）：取FC中点N，连接GN，MN，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理，可得AMNG是平行四边形，进而AG∥MN，最后由线面平行的判定定理得到答案．
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V₁，V₂，AM=x，由多面体BCDMFE的体积是多面体F-ADM的体积的3倍，可求出x与a的关系，进而得到λ值．
解答：证明：（I）
方法一（面面平行性质法）：
取DC中点S，连接AS，GS，GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∵GS∩AS=S，GS，AS?面GSA，FC，CM?面FMC
∴面GSA∥面FMC，
而GA?平面GSA，
∴GA∥平面FMC…（6分）
方法二：（线面平行的判定定理法）
取FC中点N，连接GN，MN
∵G是DF中点
∴GF∥CD且
又∵AM∥CD且
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN?平面FCM，AG?平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V₁，V₂，AM=x．
由题意得，，
，
．…（9分）
因为V₂=3V₁
所以，解得．
所以．…（12分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中（I）的关键是熟练线面平行的证明方法和步骤，（II）的关键是由多面体BCDMFE的体积是多面体F-ADM的体积的3倍，求出x与a的关系．