Question

17．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x²=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x²+y²=1相切，则点P的轨迹方程为（　　）

• A． y²-x²=1（y＜0）
• B． （y+2）²+x²=1
• C． ${x^2}+\frac{y^2}{4}=1（y＜0）$
• D． x²=-y-1

Answer 1

分析 设抛物线的弦AB与圆x²+y²=1切于点M（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=1，过M点的圆的切线方程为x₀x+y₀y=1．联立抛物线方程后，根据△＞0，可得y₀的范围，进而结合-1≤y₀≤1且y₀＜0，可得y₀的范围．设出A，B的坐标，由韦达定理可得x₁+x₂的关系式①，x₁x₂的关系式②．求出AP，BP的方程，进而可得M的坐标，代入圆的方程可得P点轨迹方程；

解答 解：设抛物线的弦AB与圆x²+y²=1切于点M（x₀，y₀），
则x₀²+y₀²=1，过M点的圆的切线方程为x₀x+y₀y=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}$y₀x²+x₀x-1=0．（*）
由△=x₀²+2y₀=-y₀²+2y₀+1＞0，得1-$\sqrt{2}$＜y₀＜1+$\sqrt{2}$．
令A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），知x₁、x₂是方程（*）的两个实根，
由根与系数的关系，
得x₁+x₂=-$\frac{{2x}_{0}}{{y}_{0}}$①，x₁x₂=-$\frac{2}{{y}_{0}}$②．
过A点的抛物线的切线AP的方程为y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），即y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²．③
同理，BP的方程为y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²．④
联立①②③④，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}}\\{y=-\frac{1}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{x}{y}}\\{{y}_{0}=-\frac{1}{y}}\end{array}\right.$，
代入x₀²+y₀²=1得（$-\frac{x}{y}$）²+（-$\frac{1}{y}$）²=1，
整理，得y²-x²=1（x∈R，-y＜0），这就是点P的轨迹方程．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，综合性强，运算量大，转化困难，难度较大，属于难题．-