Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知向量，，且.记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）已知直线过坐标原点，且与（1）中的轨迹交于两点，在第三象限，且轴，垂足为，连接并延长交于点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由、推出，可知的轨迹是以，为焦点，4为长轴的椭圆，写出椭圆的标准方程即可；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立求出M、N、H的坐标及直线HN的方程，直线HN的方程与椭圆方程联立求出Q点坐标从而求出面积的表达式，利用导数研究面积的最大值.

（1）设，，

则，.

因为，所以，

由椭圆的定义可知的轨迹是以，为焦点，4为长轴的椭圆.

故的方程为.

（2）由题意可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为（），

与椭圆联立可得，

所以，，.

点的坐标为，直线的方程为，

代入，可得，

所以.

因为，所以，

的坐标为，

于是，所以，即.

因为，.

所以.

令，，

由，可得，在上单调递增，在上单调递减，

因此当时，函数有最大值，最大值为，即的最大值为.