Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；

（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.

（1）证明：设，连接，如下图所示：

∵侧面为菱形，

∴，且为及的中点，

又，则为直角三角形，

，

又，

，即，

而为平面内的两条相交直线，

平面.

(2)

平面，

平面，

，即，

从而两两互相垂直.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系

，

为等边三角形，

，

，

，

设平面的法向量为，则，即，

∴可取，

设平面的法向量为，则.

同理可取

，

由图示可知二面角为锐二面角，

∴二面角的余弦值为.