Question

【题目】如图，已知椭圆，点是它的右端点，弦过椭圆的中心，，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、为圆上不重合的两点，的平分线总是垂直于轴，且存在实数，使得，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出的值，再求出点的坐标，并将点的坐标代入椭圆方程，得出的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）先由已知条件得出直线和直线的斜率互为相反数，可设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用向量的坐标运算得出实数的表达式，再利用基本不等式可求出的最大值．

（1）依题意可知，，.

又，，是等腰直角三角形，，.又点在椭圆上，，，因此，所求椭圆的标准方程为；

（2）如下图所示：

对于椭圆上两点、，的平分线总是垂直于轴，

与所在直线关于直线对称.

设，则，

则直线的方程为，①

直线的方程为，②

将①代入，得.③

在椭圆上，是方程③的一个根，，

以替换，得到.

，，

易知，，，，则，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，实数的最大值为.