Question

【题目】如图，已知椭圆（）与圆：在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为.

【解析】

（1）由圆的方程可得与轴的交点坐标即椭圆的焦点坐标，和圆的半径，由题意可得的值，再由存在求出，再由椭圆的定义可得椭圆的方程；

（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的值为定值．

解：（1）在圆的方程中，令，得，即，所以.

将圆的方程化为，则圆半径为，所以.

连结，因为点在圆上，为圆的直径，则.

又，则.

据椭圆定义，，则.

从而，所以椭圆的方程是；

（2）当直线的斜率存在时，设的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程，得

，即.

设点，.则，.

所以

，

当的斜率不存在时，直线与轴重合，此时点，，，

综上分析，为定值．