Question

【题目】已知函数．

（）若，求在处的切线方程．

（）求在区间上的最小值．

（）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（）．（）见解析．（）

【解析】试题分析：（1）把a=2代入可得， ，进而可得方程，化为一般式即可；

（2）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e， ，三种情形来讨论，可得最值；

（3）由（2）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．

试题解析：（）当时， ， ，

∴， ，

∴在处的切线方程为，即．

（）．

由于及定义域为，所以令得．

①若，即，则时， ， 在上单调递增，

∴在区间上的最小值为．

②若，即，则时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增，

∴在区间上的最小值为．

③若，即，则时， ， 在上单调递减，

∴在区间上的最小值为．

综上所述，当时， ；

当时， ；

当时， ．

（）由（）可知当或时， 在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．

当，要使在区间上恰有两个零点，则

，即，故．

所以， 的取值范围为