Question

【题目】设函数，其中，.

（1）若，求的极值；

（2）若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）

【解析】

（1）把代入后求导，判断的单调性，进而可以求得极值；

（2）将公共点转化为零点问题，构造函数，求导判断的单调性，结合零点定理即可求出的取值范围.

（1）当时，，

，

令，解得，或；

当变化时，，的变化情况如下表；

	+	0	﹣	0	+
	单调增	极大值	单调减	极小值	单调增

∴的极大值为，

极小值为；

（2）由题意，曲线与直线有三个互异的公共点，

可转化为

令，可得；

设函数，

即函数有三个不同的零点；

，

当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意

当时，令，解得，；

，解得，或，

，解得，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

∴的极大值为；

极小值为

若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；

若，即，解得

此时，，

，

从而由零点定理知，

在区间，，内各有一个零点，符合题意；

∴的取值范围是.