Question

当0≤x≤1时，不等式sin

πx

2

≥kx成立，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin

πx

2

≥kx
   （1）当x=0时，不等式sin

πx

2

≥kx恒成立  k∈R
   （2）当0＜x≤1时，不等式sin

πx

2

≥kx可化为
      k≤

sin πx 2

x

 
     要使不等式k≤

sin πx 2

x

恒成立，则k≤(

sin πx 2

x

)min成立
     令f（x）=

sin πx 2

x

  x∈（0，1]
     即f'（x）=

π 2 xcos πx 2  -sin πx 2

x2

            再令g（x）=

π

2

 xcos

πx

2

-sin

πx

2

     
     
     g'（x）=-

π2

4

xsin

πx

2

   
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
   即函数f（x）为单调递减函数
   所以 f（x）min=f（1）=1      即k≤1
   综上所述，由（1）（2）得  k≤1
   故此题答案为 k∈（-∞，1]．