Question

（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x²∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-

1

2

，则

1

4

≤l≤1
③若l=

1

2

，则-

2

2

≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为

②③④

．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[

1

2

，2]，f（x）≤10在x∈[

1

4

，1]上恒成立，则b的取值范围为

（-∞，

7

4

]

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中条件：“当x∈S时，有x²∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①可举反例；对于②可得

l≥ 1 4 l2≤l

；对于③若l=

1

2

，则

m2≥m m≤ 1 2 m2≤ 1 2

；对于④，有

l≥1 l2≤l

，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
（Ⅱ）把f（x）看作关于a的一次函数，根据一次函数的单调性可转化为函数最值，再看作关于x的函数，利用导数判断函数的单调性，由单调性再求出最值可求结果；

解答：解：（Ⅰ）由定义：设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x²∈S知，
符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m²∈S即m²≥m，
符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证l∈S时，有l²∈S即l²≤l，对各个命题进行判断：
对于①，若m=2，l=4，则S={x|2≤x≤4}，而4∈S，但4²∉S，矛盾，①错误；
对于②，若m=-

1

2

，则m²=

1

4

∈S，则

l≥ 1 4 l2≤l

，解之可得

1

4

≤l≤1，②正确；
对于③，若l=

1

2

，则

m2≥m m≤ 1 2 m2≤ 1 2

，解之可得-

2

2

≤m≤0，③正确；
对于④，若m=1，则m²=1∈S，故必有

l≥1 l2≤l

，解得l=1，故S={1}，④正确；
故答案为：②，③，④；
（Ⅱ）x+

a

x

+b可看作关于a的一次函数，当x∈[

1

4

，1]时该一次函数递增，
则对任意a∈[

1

2

，2]，f（x）≤10恒成立等价于x+

2

x

+b≤10，
又x∈[

1

4

，1]时x+

2

x

+b≤10恒成立，则(x+

2

x

+b)max≤10，
令g（x）=x+

2

x

+b，当x∈[

1

4

，1]时，g′（x）=1-

2

x2

＜0，
所以g（x）递减，故(x+

2

x

+b)max=

1

4

+

2

1 4

+b=

33

4

+b，
所以

33

4

+b≤10，解得b≤

7

4

，即b的取值范围是(-∞，

7

4

]，
故答案为：(-∞，

7

4

]．

点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．（Ⅱ）题中，对两个参数恒成立问题，要逐个满足，先保证对任意a恒成立，再保证对任意x恒成立，分别转化为函数最值解决即可．