Question

19.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

19．解：(解法一)(Ⅰ)若f(x)是偶函数，

则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(2+x))=f(4+x)=f(x)，

于是有f(7)=f(3)=0，这与f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾!

故f(x)不是偶函数．

若f(x)是奇函数，则f(0)=f(-0)=-f(0)，

于是有f(0)=0，这与在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾!

∴f(x)不是奇函数．

故f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．

(Ⅱ)∵f(x)=f(2+(x-2))=f(2-(x-2))=f(4-x)，

f(x)=f(7+(x-7))=f(7-(x-7))=f(14-x)．

∴f(14-x)=f(4-x)，即f(10+(4-x))=f(4-x)．

∴f(x+10)=f(x)．

∴f(x)=f(x+10n)，n∈Z．

因此，f(1)=f(1+10n)=0，f(3)=f(3+10n)=0．

即x=10n+1和x=10n+3(n∈Z)均是f(x)=0的根．

由-2005≤10n+1≤2005和-2005≤10n+3≤2005及n∈Z可得：

n=0，±1，……，±200．

故方程f(x)=0在[-2005，2005]上的根至少有802个．

如果存在c∈(7，10)，使f(c)=0，则f(14-c)=f(c)=0．

但7>14-c≥4，这与f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾!

故f(x)=0在[0，10]上只有两个根，即x=1和x=3．

设d是f(x)=0在区间[-2005，2005]上任意一个根，

则存在整数n使d=10n+a，a∈[0，10]，且f(d)=f(10n+a)=f(a)=0．

由上可知a=1或a=3d=10n+1或d=10n+3．

所以f(x)=0在[-2005，2005]上有且仅有802个根．

(解法二)(I)∵f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0．

∴f(0)≠0，即f(x)不是奇函数．

∴f(2-x)=f(2+x)，f(x)关于x=2对称．

∴f(-1)=f(5)．

而f(5)≠0f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函数．

故f(x)是非奇非偶函数．

(Ⅱ)由f(x)=f(2-(2-x))=f(2+(2-x))=f(4-x)，

有f(x)=f(7-(3+x))=f(7+(3+x))=f(x+10)．

即f(x)是周期为10的周期函数．

∵f(7-x)=f(7+x)，

∴f(x)关于x=7对称．

∵f(x)在[0，7]上仅有f(1)=f(3)=0，

∴f(x)在(7，10]上没有根．

即f(x)在[0，10]上仅有x=1和x=3两个根．

于是f(x)在[0，2000]内仅有400个根，在[2000，2005]上仅有2个根，在[-2000，0]内仅有400个根，而在[-2005，-2000]上没有根．

故f(x)在[-2005，2005]内仅有802个根．