Question

9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（c-$\sqrt{2}a$）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$．
（1）求角B的大小；
（2）若|$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的运算法则化简已知可得：（$\sqrt{2}a$-c）cosB=bcosC，然后利用正弦定理化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，根据B的范围及特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据向量的减法法则由|$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，得到|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3}$，即得到b的平方等于3，然后根据余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac的最大值，根据三角形的面积公式，利用ac的最大值及B的度数求出sinB的值，即可得到面积的最大值．

解答 解：（1）（c-$\sqrt{2}a$）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$可化为：（$\sqrt{2}a$-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理有：（$\sqrt{2}$sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即$\sqrt{2}$sinAcosB=sinA，
因为sinA＞0，所以cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即B=$\frac{π}{4}$；
（2）因为|$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，所以|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3}$，即b²=3，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²-$\sqrt{2}$ac=3，
由基本不等式可知3=a²+c²-$\sqrt{2}$ac≥（2-$\sqrt{2}$）ac，
即ac≤$\frac{3}{2}$（2-$\sqrt{2}$），
故△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{3\sqrt{2}+3}{4}$，
即当a=c时，△ABC的面积的最大值为$\frac{3\sqrt{2}+3}{4}$．

点评 此题考查学生灵活运用平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．