Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之积为

1

2

的点的轨迹，P为曲线C上的点．给出下列四个结论：
①直线y=k（x+2）与曲线C一定有交点；
②曲线C关于原点对称；
③|PF₁|-|PF₂|为定值；
④△PF₁F₂的面积最大值为2

2

．其中正确结论的序号是

②

．

Answer 1

分析：由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率的积等于常数

1

2

，利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．

解答：解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的斜率公式的得：
∵动点P与定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之积为

1

2

，
∴k_PF1×k_PF2=

1

2

∴

y2

x2-4

=

1

2

，即

x2

4

-

y2

2

=1，
又x=±2时，必有一个斜率不存在，故x≠±2
综上点P的轨迹方程为

x2

4

-

y2

2

=1（x≠±2）
对于①，当k=0时，直线y=k（x+2）与曲线C没有交点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，根据双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=±2a═±4，其绝对值为定值，但|PF₁|-|PF₂|不虽定值，故③错；
对于④，由题意知点P在双曲线C上，则△F₁PF₂的面积S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由于双曲线上点P的纵坐标y没有最大值，所以④不正确．
故答案为：②．

点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用方程式得出曲线的类型是解答的关键，属于基础题．