Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积不大于

1

2

a²．
其中，所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．

解答：解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a2?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由（1）式平方化简的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0?y2=-x2-1+

4x2+a4

或y2=-x2-1-

4x2+a4

（舍）  
把三角形的面积式子平方得：S△PF1F22 =y2 对于y2=-x2-1+

4x2+a4

（2）
 令

4x2+a4

=t(t≥a2＞1)?x2=

t2-a4

4

代入（2）得y2=-

t2

4

+

a4

4

-1+t=-

1

4

(t-2)2+

a4

4

≤

a4

4

，
故可知S△PF1F2=

1

2

×2×y≤

1

2

a² 所以③正确．
故答案为：②③

点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．