Question

设函数的图像关于原点对称，且时，取极小值。

（1）求的值；

（2）当时，图像上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？证明你的结论。

（3）若，求证：。

Answer 1

解：（1）∵函数的图像关于原点对称

 ∴对任意实数，有

∴，

即恒成立。

∴

∴，

∵时，取极小值

∴，

∴。

（2）当时，图像上不存在这样的两点使结论成立。

假设图像上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由

知两点处的切线斜率分别为（*）

∵

∴与（*）矛盾。

（3）∵

令得，

∵或时，，

时，

∴在[－1，1]上是减函数，且，

∴在[－1，1]上，，

∴时，。