Question

设函数的图像关于原点对称，且时，取极小值。

（1）求，，，的值；

（2）当时，图像上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。

（3）若，求证：。

Answer 1

解：（1）∵函数图像关于原点对称

 ∴对任意实数，有

∴

即恒成立，∴。

∴，

∵时，取极小值，∴，

∴。

（2）当时，图像上不存在这样的两点使结论成立。

假设图像上存在两点使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为

且      （*）

∵，∴与（*）矛盾。

（3）∵，令得，

∵时，，

时，。

∴在上是减函数，且；，

∴在上，

∵时，

。