Question

【题目】己知函数，，.

（1）求函数的零点个数；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）分离参数，利用导数得出的单调性，结合图象，即可得出函数的零点个数；

（2）构造函数，，分类讨论的值，利用导数得出其单调性以及最值，即可得出的取值范围.

解：（1）由题意，可知，∴不是的零点

当时，令，整理得，

令，.则.

或；

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

即在处取得极小值.

∵，；，；，

∴函数大致图象如下图所示：

结合图形可知：①当，即时，无解，即无解，此时没有零点，

②当，即时，有1个解，此时有1个零点，

③当，即时，有2个解，此时有2个零点，

④当，即时，有3个解，此时有3个零点，

综上所述，当时，没有零点；

当时，有1个零点；

当时，有2个零点；

当时，有3个零点.

（2）在上恒成立

∴在上恒成立

令，

；，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则

令，，

当时，，则函数在区间上单调递增

即恒成立

当时，；

则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

在区间上恒成立

令，

在区间上单调递增

，解得

综上，