Question

如图，在半径为10

3

cm的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V（cm³）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ（rad），将V表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题,函数解析式的求解及常用方法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求出AB，可得r，即可求出V；
（2）分别选用这两个函数，利用导数，即可求圆柱形罐子的最大体积．

解答： 解：（1）①AB=2

(10 3 )2-x2

=2πr，∴r=

300-x2

π

，
∴V=f(x)=π(

300-x2

π

)2•x=

1

π

(-x3+300x)，（0＜x＜10

3

）   …（4分）
②AD=10

3

sinθ，AB=20

3

cosθ=2πr，r=

10 3 cosθ

π

，
∴V=

3000 3

π

sinθcos2θ（0＜θ＜

π

2

）…（8分）
（2）选用f（x）：f′（x）=-

3

π

（x+10）（x-10）（0＜x＜10

3

），
令f'（x）=0，则x=10…（10分）
列表得：

x	（0，10）	10	（10，10 3 ）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调增	极大值	单调减

…（13分）
∴f（x）_max=f（10）=

2000

π

选用g）θ）：令t=sinθ，0＜t＜1，h（t）=

3000 3

π

t(1-t2)
∴h′（t）=-

9000 3

π

（t+

3

3

）（t-

3

3

），
令 h'（t）=0，则t=

3

3

…（10分）
列表得：

t	（0， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，1）
h′（t）	+	0	-
h（t）	单调增	极大值	单调减

…（13分）
∴h（t）_max=h（

3

3

）=

2000

π

，即g(θ)max=

2000

π

…（15分）
（对g（θ）直接求导求解也得分，g′(θ)=

3000 3 cosθ(1- 3 sinθ)(1+ 3 sinθ)

π

）
答：圆柱形罐子的最大体积为

2000

π

．

点评：本题综合考查了三次函数、三角函数的最值问题，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．