Question

（Ⅰ）关于x的不等式组

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整数解的集合为{-2}，求实数k的取值范围．
（Ⅱ）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0满足f(

x

y

)=f(x)-f(y)．f（6）=1，解不等式f(x-3)-f(

1

x

)＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式x²-x-2＞0的解集为x＞2或x＜-1，不等式2x²+（2k+5）x+5k＜0的解集为-

5

2

＜x＜-k，根据不等式组的整数解的集合为{-2}，可得-2＜-k≤3，从而求得
实数k的取值范围．
（Ⅱ）不等式可化为 f(x-3)-f(

1

x

)＜2f(6)，即 f(

x2-3x

6

)＜f(6)，再由f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，可得

(x-3)＞0 x＞0 x2-3x 6 ＜6

，由此求得不等式的解集．

解答：（Ⅰ）解：不等式x²-x-2＞0的解集为x＞2或x＜-1，不等式2x²+（2k+5）x+5k＜0可化为（x+k）（2x+5）＜0，
由题意可得2x²+（2k+5）x+5k＜0的解集为-

5

2

＜x＜-k．
∵不等式组的整数解的集合为{-2}，∴-2＜-k≤3．即-3≤k＜2．…．（6分）
（Ⅱ）∵f（6）=1，∴2=2f（6），故不等式f(x-3)-f(

1

x

)＜2 即 f(x-3)-f(

1

x

)＜2f(6)，∴f（x²-3x）＜2f（6）．
∴f（x²-3x）-f（6）＜f（6）即 f(

x2-3x

6

)＜f(6)，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

(x-3)＞0 x＞0 x2-3x 6 ＜6

，∴3＜x＜

3+3 17

2

．   …．（14分）

点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，函数的单调性的判断与应用，属于中档题．