Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，且当n≥5时，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，若数列{b_n}满足对任意n∈N^*，有b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，则b₅=________；当n≥5时，b_n=________．

Answer 1

65    70-n
分析：在b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²中，令n=5代入数据计算即可求出b₅．由b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²中构造出b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²，两式相减，并化简整理，可以判断出当n≥5时，数列{b_n}的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．
解答：由已知，b₅=a₁a₂…a₅-a₁²-a₂²-…-a₅²
=1×2×3×4×5-（1²+2²+3²+4²+5²）
=120-55
=65．
当n≥5时，由a_n+1=a₁a₂…a_n-1，移向得出a₁a₂…a_n-1=a_n+1+1 ①
∵b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，②
∴b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1² ③
^_③-②得b_n+1-b_n=a₁a₂…a_na_n+1-a₁a₂…a_n-a_n+1²
=a₁a₂…a_n（a_n+1-1）-a_n+1² （将①式代入）
=（a_n+1+1）（a_n+1-1）-a_n+1²=a_n+1²-1-a_n+1²
=-1
∴当n≥5时，数列{b_n}的各项组成等差数列，
∴b_n=b₅+（n-5）×（-1）=65-（n-5）=70-n．
故答案为：65 70-n
点评：本题考查等差关系的判定、通项公式．考查转化、变形构造、计算能力．