Question

15．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，{b_n}，n，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，${x_{n+1}}=[\frac{{{x_n}+[\frac{a}{x_n}]}}{2}]（n∈{N^*}）$，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；   ②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，x_n＞$\sqrt{a}$-1；                   ④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则${x_n}=[\sqrt{a}]$．
其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．

解答 解：①当a=5时，x₁=5，x₂=$[\frac{5+[\frac{5}{5}]}{2}]$=3，x₃=$[\frac{3+[\frac{5}{3}]}{2}]$=2，故正确；
②令a=3，则x₁=3，
∴x₂=$[\frac{3+[\frac{3}{3}]}{2}]$=2，x₃=$[\frac{2+[\frac{3}{2}]}{2}]$=1，x₄=$[\frac{1+[\frac{3}{1}]}{2}]$=2，…，
即以后各项均为1、2交替出现，故不正确；
③当n=1时，x₁=a，
∵a-（$\sqrt{a}$-1）=$（\sqrt{a}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，
∴x₁=a＞$\sqrt{a}$-1成立；
假设当n=k（k≥2）时，x_k＞$\sqrt{a}$-1，
∵$\frac{{x}_{k}+[\frac{a}{{x}_{k}}]}{2}$＞$\frac{\sqrt{a}-1+[\frac{a}{\sqrt{a}-1}]}{2}$＞$\sqrt{a}$-1，
∴x_k+1=$[\frac{{x}_{k}+[\frac{a}{{x}_{k}}]}{2}]$≥$[\sqrt{a}-\frac{1}{2}]$＞$\sqrt{a}$-1，
即当n=k+1时，结论亦成立；
综上所述，对任意正整数n，当n≥1时，x_n＞$\sqrt{a}$-1，故正确；
④∵x_k+1=$[\frac{{x}_{k}+[\frac{a}{{x}_{k}}]}{2}]$≥x_k，
∴由①、②规律可知结论成立．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力，注意解题方法的积累，属于难题．