Question

4．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．过点A任作一条直线与圆O：x²+y²=1相交于M，N两点，则$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2．

Answer 1

分析 先求出C的坐标，再设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），即可求出$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$．

解答 解：∵圆C与x轴相切于点T（1，0），
∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
则|BC|=$\sqrt{2}$，即圆的半径r=|BC|=$\sqrt{2}$，
∴圆心C（1，$\sqrt{2}$），
∴E（0，$\sqrt{2}$），
又∵|AB|=2，且E为AB中点，
∴A（0，$\sqrt{2}$-1），B（0，$\sqrt{2}$+1），
∵M、N在圆O：x²+y²=1上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}+1）]^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NB|}{|NA|}$=$\sqrt{2}$+1，
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}-1$，
∴$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．