Question

已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，当0＜x＜1时，f（x）＜0，且对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（），试证明：
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（-1，1）上单调递减．

Answer 1

解：（1）由题意，令x=y=0代入已知式子可得：
f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
故f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（）
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴0＜x₂-x₁＜2，0＜1-x₂x₁＜2，
∴0＜＜1，故f（）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（-1，1）上单调递减．
分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得证；（2）由单调性的定义，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，由性质可得可得
f（x₂）-f（x₁）=f（），由已知可判f（）＜0，进而得证．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给x，y赋值是解决问题的关键，属基础题．