Question

12．在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，现把矩形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{70}}{10}$

Answer 1

分析 当平面ABC⊥平面ADC时，以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，由已知求出AC=4，∠BAC=30°，过D作DE⊥AC，交AC于E，连结BE，则DBE是直线BD和平面ABC所成的角，由此能求出直线BD和平面ABC所成的角的正弦值．

解答 解：∵在矩形ABCD中，现把矩形ABCD沿对角线AC折起，
∴当平面ABC⊥平面ADC时，以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∴AC=$\sqrt{12+4}$=4，∴∠BAC=30°，
过D作DE⊥AC，交AC于E，连结BE，
∵平面ABC⊥平面ADC，∴DE⊥平面ABC，
∴∠DBE是直线BD和平面ABC所成的角，
∵DE=$\frac{AD×DC}{AC}$=$\sqrt{3}$，∴$AE=\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
∴BE=$\sqrt{B{A}^{2}+A{E}^{2}-2×BA×AE×cos∠BAC}$=$\sqrt{12+1-2×2\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{7+3}$=$\sqrt{10}$，
∴sin∠DBE=$\frac{BE}{BD}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$．
故选：D．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．