为响应政府“还家乡青山绿水,走生态发展之路”的号召,某县两村F1、F2准备种植围绕村庄的防护林,如图,在与两个村同一条直线上有两个机井A1,A2,两村在两个机井之间,每个村到两机井的距离都分别为3千米与1千米,根据现有地理特点,两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离.
(Ⅰ)请你利用所学知识,建立适当的平面直角坐标系,求出种植点所在的曲线方程;
(Ⅱ)已知过F2村有一条小路l,且斜率为1,试求在小路l上的两个种植点间距离.
【答案】
分析:(Ⅰ)以A
1A
2所在直线为x轴,线段A
1A
2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,根据两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离,两机井间距离为10千米,由椭圆的定义可知,种植点所在的曲线为以A
1A
2为长轴,F
1、F
2为焦点的椭圆,从而可得种植点所在的曲线方程;
(Ⅱ)小路l所在直线方程为:y=x-1,代入椭圆方程,求出交点坐标,利用两点间的距离公式,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)以A
1A
2所在直线为x轴,线段A
1A
2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
∵两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离,两机井间距离为10千米
∴由椭圆的定义可知,种植点所在的曲线为以A
1A
2为长轴,F
1、F
2为焦点的椭圆
设椭圆方程为:
(a>b>0),则a+c=3,a-c=1,所以a=2,c=1,b=
=
.
∴种植点所在的曲线方程为
;
(Ⅱ)由题意,小路l所在直线方程为:y=x-1,代入椭圆方程,消去y可得7x
2-8x-8=0
∴x=
或x=
∴y=
或y=
∴两点之间距离为
=
即在小路l上的两个种植点间距离为
千米.
点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.