Question

（2011•资阳一模）某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．
（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；
（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．

Answer 1

分析：（I）“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”，包括互换的是A校的教师，互换的是B校的教师，求出相应的概率，利用加法公式，可得结论；
（II）“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件F₁；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件F₂，且事件F₁、F₂互斥，求出相应的概率，利用加法公式，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E，有以下两种情况：
①互换的是A校的教师，记此事件为E₁，则P（E₁）=

C 1 3

C 1 5

•

C 1 3

C 1 6

=

3

10

；（2分）
②互换的是B校的教师，记此事件为E₂，则P（E₂）=

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 6

=

1

5

．（4分）
则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为P（E）=P（E₁）+P（E₂）=

3

10

+

1

5

=

1

2

．（6分）
（Ⅱ）令“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件F₁；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件F₂，且事件F₁、F₂互斥．
则P（F₁）=

C 1 3

C 1 5

•

C 1 3

C 1 6

+

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 6

=

1

2

；P(F2)=

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 6

=

1

5

．（10分）
甲地区A校教师人数不少于3名的概率为P（F）=P(F1)+P(F2)=

1

2

+

1

5

=

7

10

．（12分）

点评：本题考查概率的求解，考查学生学生分析解决问题的能力，确定互斥事件是关键．