Question

设函数f_n（x）=-1+x+），证明：
（1）对每个n∈N₊，存在唯一的x_n，满足f_n（x_n）=0；
（2）对于任意p∈N₊，由（1）中x_n构成数列{x_n}满足0＜x_n-x_n+p＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f_n（1）＞0，f_n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
（2）由题意可得f_n+1（x_n）＞f_n（x_n）=f_n+1（x_n+1）=0，由 f_n+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x_n+1＜x_n，故x_n-x_n+p＞0．用 f_n（x）的解析式减去f_n+p （x_n+p）的
解析式，变形可得x_n-x_n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ，综上可得要证的结论成立．
解答：证明：（1）对每个n∈N₊，当x＞0时，由函数f_n（x）=-1+x+），可得
f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f₁（x₁）=0，当n≥2时，f_n（1）=++…+＞0，即f_n（1）＞0．
又f_n（）=-1++[+++…+]≤-+•=-+×
=-•＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x_n，满足f_n（x_n）=0．
（2）对于任意p∈N⁺，由（1）中x_n构成数列{x_n}，当x＞0时，∵f_n+1（x）=f_n（x）+＞f_n（x），
∴f_n+1（x_n）＞f_n（x_n）=f_n+1（x_n+1）=0．
由 f_n+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x_n+1＜x_n，即 x_n-x_n+1＞0，故数列{x_n}为减数列，即对任意的 n、p∈N₊，x_n-x_n+p＞0．
由于 f_n（x）=-1+x_n+++…+=0 ①，
f_n+p （x_n+p）=-1+x_n+p+++…++[++…+]②，
用①减去②并移项，利用 0＜x_n+p≤1，可得
x_n-x_n+p=+≤≤＜=＜．
综上可得，对于任意p∈N₊，由（1）中x_n构成数列{x_n}满足0＜x_n-x_n+p＜．
点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．