Question

（2009•黄冈模拟）设函数f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*．
（1）讨论函数f₂（x）的单调性；
（2）判断方程f_n（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）写出要用的函数，对于函数求导，导函数是一个二次函数，配方整理看出导函数一定小于0，得到函数的单调性．
（2）首先验证当n=1时，只有一个解，在验证n大于等于2时的情况，求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，看出交点的个数．

解答：解：（1）f₂（x）=1+x-

1

2

x²+

1

3

x³，f₂′（x）=-1-x+x²=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
所以f₂（x）在R单调递增．
（2）f₁（x）=1+x有唯一实数解x=-1
由f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

+…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，
得f_n′（x）=1-x+x²-…-x^2n-3+x^2n-2．
（1）若x=-1，则f_n′（x）=（2n-1）＞0．
（2）若x=0，则f_n′（x）=1＞0．
（3）若x≠-1，且x≠0时，则f_n′（x）=

x2n-1+1

x+1

．
①当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f_n′（x）＞0．
②当x＞-1时，f_n′（x）＞0
综合（1），（2），（3），得f_n′（x）＞0，
即f_n（x）在R单调递增．          （10分）
又f_n（0）=1＞0，f_n（-1）=1+（-1）-

1

2

+

1

3

-…-

1

2n-2

+

1

2n-1

＜0，
所以f_n（x）在（-1，0）有唯一实数解，从而f_n（x）在R有唯一实数解．
综上，f_n（x）=0有唯一实数解．

点评：本题考查函数与方程的关系和导数的应用，本题解题的关键是可以导数看出函数的单调性，根据单调性确定函数与横轴的交点个数．