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(2009•黄冈模拟)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2,把它们放在一个盒子里,从中任意摸出两个小球,它们所标有的数字分别为x,y,记ξ=x+y.
(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望;
(2)设“函数f(x)=x2-ξx-1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
分析:(1)随机变量ξ的可能取值为2,3,4,从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C42=6,然后根据等可能事件的概率求出相应的概率,得到分布列,最后根据数学期望公式解之即可;
(2)根据函数f(x)=x2-ξx-1在区间(2,3)上有且只有一个零点可求出ξ的取值,从而求出事件A发生的概率.
解答:解:(1)由题意,随机变量ξ的可能取值为2,3,4;
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C42=6,
当ξ=2时,摸出的小球所标的数字为1,1;
∴P(ξ=2)=
1
6

当ξ=4时,摸出的小球所标的数字为2,2;
∴P(ξ=4)=
1
6

∴可知当ξ=3时,P(ξ=3)=1-
1
6
-
1
6
=
2
3

∴ξ的分布列为
                 ξ                  2                  3                 4
                P                  
1
6
                 
2
3
               
1
6
故Eξ=2×
1
6
+3×
2
3
+4×
1
6
=3
(2)∵函数f(x)=x2-ξx-1在区间(2,3)上有且只有一个零点
∴f(2)f(3)<0即(3-2ξ)(8-3ξ)<0
3
2
<ξ<
8
3
且ξ的所求可能取值为2,3,4
∴ξ=2
∴P(A)=P(ξ=2)=
1
6

∴事件A发生的概率为
1
6
点评:本题主要考查了函数零点,以及离散型随机变量及其分布列和数学期望,同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力,属于中档题.
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2
2
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-1
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λa+μb
λ+μ
)
2
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λ+μ
)≥(
λa+μb
λ+μ
)2
-
λa2b2
λ+μ

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