Question

（2009•黄冈模拟）四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ=x+y．
（1）求随机变量ξ的分布列及数学期望；
（2）设“函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（1）随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C₄²=6，然后根据等可能事件的概率求出相应的概率，得到分布列，最后根据数学期望公式解之即可；
（2）根据函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点可求出ξ的取值，从而求出事件A发生的概率．

解答：解：（1）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4；
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C₄²=6，
当ξ=2时，摸出的小球所标的数字为1，1；
∴P（ξ=2）=

1

6

．
当ξ=4时，摸出的小球所标的数字为2，2；
∴P（ξ=4）=

1

6

．
∴可知当ξ=3时，P（ξ=3）=1-

1

6

-

1

6

=

2

3

∴ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	1 6	2 3	1 6

故Eξ=2×

1

6

+3×

2

3

+4×

1

6

=3
（2）∵函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点
∴f（2）f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0
∴

3

2

＜ξ＜

8

3

且ξ的所求可能取值为2，3，4
∴ξ=2
∴P（A）=P（ξ=2）=

1

6

．
∴事件A发生的概率为

1

6

．

点评：本题主要考查了函数零点，以及离散型随机变量及其分布列和数学期望，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．