Question

（2009•黄冈模拟）某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64am²，每年拆除的数量相同；新城区计划用十年建成，第一年建设住房面积2am²，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年减少2am²．
（1）若10年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少m²？
（2）设第n（1≤n≤10且n∈N）年新城区的住房总面积为S_nm²，求S_n．

Answer 1

分析：（1）10年后新城区的住房总面积为2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．设每年旧城区拆除的数量是x，则84a+（64a-10x）=2×64a，由此能求出每年旧城区拆除的住房面积．
（2）设第n年新城区的住房建设面积为a_n，则an=

2na(1≤n≤4) 2(12-n)a(5≤n≤10).

所以当1≤n≤4时，S_n=2（2ⁿ-1）a；
当5≤n≤10时，S_n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12-n）a=30a+

(n-4)(38-2n)a

2

=（23n-n²-46）a．由此能求出S_n．

解答：解：（1）10年后新城区的住房总面积为2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．
设每年旧城区拆除的数量是x，
则84a+（64a-10x）=2×64a，
解得x=2a，
即每年旧城区拆除的住房面积是2am²．
（2）设第n年新城区的住房建设面积为a_n，
则an=

2na(1≤n≤4) 2(12-n)a(5≤n≤10).

所以当1≤n≤4时，
S_n=2（2ⁿ-1）a；
当5≤n≤10时，
S_n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12-n）a
=30a+

(n-4)(38-2n)a

2

=（23n-n²-46）a．
故Sn=

2(2n-1)a(1≤n≤4) (23n-n2-46)a(5≤n≤10).

点评：本题考查数列的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．