Question

（2009•黄冈模拟）已知函数f(x)=

1-x2

1+x+x2

(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(

λa+μb

λ+μ

)2]-f(

λa2+μb2

λ+μ

)≥(

λa+μb

λ+μ

)2-

λa2+μb2

λ+μ

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数求导，利用导数可判断函数的单独区间，进而可求函数的极大值，极小值．
（Ⅱ）原不等式可化为et≥

2(1-x2)

1+x+x2

由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为

2 3

3

．则可得

2(1-x2)

1+x+x2

的最大值为

4 3

3

，由恒成立的意义知道et≥

4 3

3

，从而可求t．
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=

1-x2

1+x+x2

-x(x＞0)，对g（x）求导可判断g（x）在（0，+∞）上是减函数，而作差可证明(

λa+μb

λ+μ

)2≤

λa2+μb2

λ+μ

．由g（x）的单调性可证．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2)

(1+x+x2)2

=

-[x-(-2+ 3 )]•[x-(-2- 3 )]

(1+x+x2)2

∴f（x）的增区间为(-2-

3

，-2+

3

)，f（x）减区间为(-∞，-2-

3

)和(-2+

3

，+∞)．
极大值为f(-2+

3

)=

2 3

3

，极小值为f(-2-

3

)=-

2 3

3

．…4分
（Ⅱ）原不等式可化为et≥

2(1-x2)

1+x+x2

由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为

2 3

3

．
∴

2(1-x2)

1+x+x2

的最大值为

4 3

3

，由恒成立的意义知道et≥

4 3

3

，从而t≥ln

4 3

3

…8分
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=

1-x2

1+x+x2

-x(x＞0)
则g′(x)=f′(x)-1=

-(x2+4x+1)

(1+x+x2)2

-1=-

x4+2x3+4x2+6x+2

(1+x+x2)2

．
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时，(

λa+μb

λ+μ

)2-

λa2+μb2

λ+μ

=-

λμ(a-b)2

(λ+μ)2

≤0
∴(

λa+μb

λ+μ

)2≤

λa2+μb2

λ+μ

．
由g（x）的单调性有：f[(

λa+μb

λ+μ

)2]-(

λa+μb

λ+μ

)2≥f(

λa2+μb2

λ+μ

)-

λa2+μb2

λ+μ

，
即f[(

λa+μb

λ+μ

)2]-f(

λa2+μb2

λ+μ

)≥(

λa+μb

λ+μ

)2-

λa2+μb2

λ+μ

．…12分

点评：本题主要考查了函数的恒成立问题的转化的应用，解题的关键是熟练应用导数的知识判断函数的单调性、求解函数的极值及最值及综合应用函数知识求解问题的综合能力