Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O为底ABCD对角线的交点．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面AB₁D₁； 
（Ⅱ）求A₁到平面AB₁D₁的距离．

Answer 1

分析：（I）利用三垂线定理证明A₁C垂直于平面AB₁D₁的两条相交直线，由线线垂直证明线面垂直；
（II）利用三棱锥的换底性，VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，求三棱锥A₁-AB₁D₁的高．

解答：解：（I）证明：∵几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴CD⊥平面ADD₁A₁，
∴A₁D为A₁C在平面ADD₁A₁内的射影，∵A₁D⊥AD₁，
由三垂线定理得A₁C⊥AD₁，
同理可证A₁C⊥B₁D₁，又B₁D₁∩AD₁=D₁，
∴A₁C⊥平面AB₁D₁．
（II）∵棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴△AB₁D₁为边长为

2

的等边三角形，
设A₁到平面AB₁D₁的距离h，由三棱锥的换底性，
知VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，即

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

3

2

×h，
解得h=

3

3

．
即A₁到平面AB₁D₁的距离为

3

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定，考查了用三垂线定理证明线线垂直及用三棱锥的换底性求点到平面的距离，考查了学生的空间想象能力．